Конструкция поля комплексных чисел.

Для комплексных чисел мы поставили задачу: найти **поле**, которое: 1) содержит $\mathbb{R}$ 2) содержит $\sqrt{-a}$, где $a > 0$ 3) и ничего больше

Множество $\mathbb{C}$ комплексных чисел - это декартов квадрат $\mathbb{R}$ x $\mathbb{R}$ множества $\mathbb{R}$ действительных чисел. Комплексное число - это упорядоченная пара ($a,b$), $a,b \in \mathbb{R}$ $\mathrm{Re}~z = a$ - действительная часть числа $z = (a, b)$ $\mathrm{Im}~z = b$ - мнимая часть числа $z = (a, b)$ ($\mathrm{Im}~z \in \mathbb{R}$) Сумма комплексных чисел: $$z_{1} + z_{2} := (a + c, b + d)$$ Произведение комплексных чисел: $$z_{1}z_{2} := (ac - bd, ad + bc)$$

Напомним что $\mathbb{F}$ - поле с операциями сложения $+$ и умножения $\cdot$, если: 1) $\forall{a, b \in \mathbb{F}}~~ a + b = b + a$ 2) $\forall{a, b, c \in \mathbb{F}}~~ (a+b)+c = a+(b+c)$ 3) $\exists{0 \in \mathbb{F}}~~ \forall{a \in \mathbb{F}}~~ a + 0 = a$ 4) $\forall{ a \in \mathbb{F}}~~ \exists{b \in \mathbb{F}}~~ a + b = 0$ 5) $\forall{a,b \in \mathbb{F}}~~ ab = ba$ 6) $\forall{a, b, c \in \mathbb{F}}~~ (ab)c = a(bc)$ 7) $\exists{1 \in \mathbb{F}}~~ \forall{a \in \mathbb{F}}~~ a \cdot 1 = a$ 8) $\forall{a \in \mathbb{F} \setminus \{0\}}~~ \exists{b \in \mathbb{F}}~~ ab = 1$ 9) $\forall{a, b, c \in \mathbb{F}}~~ (a+b)c = ac + bc$ 10) $1 \neq 0$ Простыми словами: поле - абелева группа по сложению и умножению с дистрибутивностью $\cdot$ относительно $+$ и неодноэлементностью ($1\neq0$) Первые 4 аксиомы очевидны, $0 = (0, 0)$ 5), 6), 9) - непосредственные вычисления 7), 10) - $1 = (1, 0)$ Аксиома 8: Положим $t := \left( \dfrac{a}{a^{2} + b^{2}}, \dfrac{-b}{a^{2} + b^{2}} \right)$, так как $z = (a, b) \neq 0 \Rightarrow a^{2} + b^{2} \neq 0$. Тогда: $$zt = (a, b)\left( \dfrac{a}{a^{2} + b^{2}}, \dfrac{-b}{a^{2} + b^{2}} \right) = \left( \dfrac{a^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \dfrac{b^{2}}{a^{2} + b^{2}}, \dfrac{-ab}{a^{2} + b^{2}} + \dfrac{ab}{a^{2}+b^{2}} \right) = (1, 0)$$

Будем отождествлять $(a, 0)$ с действительным числом $a$, тогда $\mathbb{R} = \{(a, 0) ~|~ a \in \mathbb{R}\}$ и $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$

Мнимая единица - комплексное число $i := (0, 1)$

По определению: $$i^{2} = (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) \implies i^{2} = -1$$ Если $a < 0, a \in \mathbb{R}$, то: $$(0, \sqrt{-a})(0, \sqrt{-a}) = (a, 0) = a \implies \sqrt{a} \in \mathbb{C}$$

$a + bi$ - алгебраическая форма числа $(a, b)$

Пусть $\mathbb{F}$ - произвольное поле, которое содержит $\mathbb{R}$ и квадратные корни из отрицательных действительных чисел. Зафиксируем $e \in \mathbb{F}, e^{2} = -1$ Тогда $\mathbb{F}$ содержит все элементы вида $a + be$, где $a, b \in \mathbb{R}$. Эти элементы складываются и перемножаются в $\mathbb{F}$ по тем же правилам, что и комплексные числа. Сопоставим комплексному числу $a + bi \in \mathbb{C}$ элемент $a + be \in \mathbb{F}$. Легко проверить, что такое отображение взаимно однозначно и сохраняет операции сложения и умножения. А значит поле $\mathbb{C}$ вкладывается в поле $\mathbb{F}$, как и в любое другое поле, которое содержит $\mathbb{R}$ и квадратные корни из отрицательных чисел. А значит $\mathbb{C}$ - минимально возможная конструкция.

!complex_geometry.svg